Цивилизация
Теорема о неполноте
В 1931 году австрийский математик и логик Курт Гедель сформулировал свою знаменитую теорему о неполноте формальных систем. Он показал, что некоторые суждения являются неразрешимыми, то есть их невозможно доказать или опровергнуть в рамках формальной логики. То есть если существует некая система аксиом, в которой можно доказать утверждение A, то в этой же системе можно доказать и утверждение, обратное A.
Для того чтобы избежать неминуемых в связи с этим парадоксов, приходится использовать единственно возможный вариант — неполную систему аксиом.
Позднее известный физик и математик Роджер Пенроуз применит эту теорему для того, чтобы показать разницу между искусственным интеллектом (который с формальной точки зрения может дойти до того, чтобы доказывать одновременно справедливость как утверждения A, так и утверждения, обратного A) и человеческим мозгом (который, основываясь на своих наблюдениях, будет использовать лишь те аксиомы, в которых верно лишь утверждение A).
В 1936 году британский математик Алан Тьюринг переформулировал теорию Геделя в терминах математических алгоритмов. Тьюринг создал математическую модель идеальной вычислительной машины.Такой компьютер состоит из управляющего устройства и подвижной ленты бесконечной длины. Управляющее устройство записывает на ленту или считывает с нее символы некоторого конечного алфавита.
Тьюринг доказал, что так называемая «проблема остановки» — вопрос о том, может ли такая машина выполнить некоторый заданный алгоритм за конечное время, — неразрешима.
С 1990-х годов физики-теоретики пытаются использовать идеи Тьюринга при построении математических моделей физических явлений. Однако автор одной из таких моделей , Маркус Миллер из Университета Западного Онтарио в Канаде, высказал предположение, что неразрешимые проблемы, которые обсуждались в этих работах, не имеют отношения к конкретным физическим явлениям.
Первая попытка
Похоже, что первой попыткой применить идеи неразрешимости к актуальным физическим проблемам стала опубликованная на этой неделе статья в журнале Nature . В этой работе ученые рассчитывали энергетический спектр многочастичной квантовой системы. Важнейшим параметром такой системы является спектральная, или энергетическая, щель — расстояние между двумя низшими энергетическими уровнями электронного спектра. Величина этой щели определяет основные свойства материала.
При изменении внешних условий энергетический спектр схлопывается и материал переходит в состояние с совершенно другими физическими свойствами.
Например, охлаждение некоторых материалов ниже критической температуры приводит к исчезновению энергетической щели, и они становятся сверхпроводящими.
Чтобы предсказывать свойства интересующих материалов, например высокотемпературных сверхпроводников, физики занимаются математическим моделированием их энергетических спектров. В основе таких моделей лежит квантовая теория твердого тела, которая позволяет делать выводы о физических свойствах макроскопических тел по параметрам их микроскопической структуры.
В своей работе ученые построили сложную теоретическую модель бесконечной двумерной кристаллической решетки, состояния атомов в которой воплощают машину Тьюринга. В такой модели вопрос о существовании энергетический щели в электронном спектре сводится к проблеме остановки вычислительной машины. Это означает, что для бесконечной решетки вопрос о наличии энергетической щели является неразрешимым.
Однако для двумерной решетки конечного размера вычисления требуют конечного числа операций и приводят к определенному решению.
На первый взгляд полученный авторами результат мало связан с реальными физическими задачами. Реальные образцы всегда имеют конечные размеры, и их параметры могут быть измерены экспериментально или рассчитаны на компьютере в определенном приближении за конечное время.
Неразрешимость задачи для бесконечной решетки означает, что если мы будем увеличивать число атомов в структуре с известным энергетическим спектром, то ее свойства могут резко измениться при переходе от бесщелевого состояния в состояние с щелью и обратно.
Поскольку доказано, что невозможно точно предсказать, когда произойдет этот переход, то сложно делать общие выводы о свойствах материала из эксперимента или компьютерного моделирования.
Что все это значит?
По словам одного из авторов исследования, Тони Кьюбита, их подход также применим к решению одной из главных проблем физики элементарных частиц. Речь идет о доказательстве теории Янга–Миллса — одной из «задач тысячелетия», за решения каждой из которых институтом Клэя предложен приз в 1 миллион долларов США (одну такую задачу — гипотезу Пуанкаре — доказал Григорий Перельман, правда, от миллиона он отказался). Это математическая теория, объединяющая три из четырех видов взаимодействий в природе: электромагнитное, сильное и слабое.
Важнейшая проблема этой теории — существование щели в спектре масс частиц.
Не существует математической теории, которая объясняла бы, почему частицы — переносчики сильного и слабого взаимодействия имеют массу, а фотоны — переносчики электромагнитного взаимодействия являются безмассовыми частицами.
Соавтор работы Майкл Вольф отмечает, что такая попытка применить работы Геделя и Тьюринга непосредственно к решению проблем теоретической физики может изменить взгляд ученых на квантовую теорию.
«В философском смысле мы бросили вызов редукционистской точки зрения, — говорит профессор Вольф. — Непреодолимая трудность заключается именно в выводе макроскопических свойств материалов из микроскопического описания».