Кризис расползается в мультфильме

Наглядное пособие по распространению финансового кризиса

Математик представил распространение финансового кризиса в американской экономике в виде мультфильма. На нём чётко видно, как кризис, словно эпидемия, шёл от компании к компании и от отрасли к отрасли. Впрочем, этот мультик – математический «обман», построен он таким образом, что в любом случае выглядел бы как эпидемия.

Финансовый кризис обернулся потерей работы для некоторых из тех, у кого она была, и потерей надежды получить работу почти для всех тех, у кого её не было; среди последних – немало новоиспечённых специалистов. Не удивительно, что едва ли не самые большие потери на рынке труда понесли, собственно, финансисты – от выпускников MBA-школ и бизнес-аналитиков до обладателей докторских степеней в экономической теории или финансовой информатике. Для них крушение рынков – что акций, что занятости – наверное, ещё больнее, поскольку эти люди должны куда лучше среднего Вани (или Джо) с улицы понимать, что происходит.

Но на безработицу можно посмотреть и с другой стороны: пусть денег и работы нет, зато есть время.

Лишние дни и недели вполне можно использовать, чтобы обстоятельно что-нибудь обдумать, включая и сам финансовый кризис.

Судя по всему, в достатке времени сейчас и у чернокожего американца Реджинальда Смита. Он окончил престижную MBA-школу имени Альфреда Слоана при Массачусетском технологическом институте аккурат в 2007 году, когда ипотечные компании в Калифорнии и Флориде вдруг впервые отчётливо почувствовали, что зря они раздавали кредиты на покупку домов каждому встречному и поперечному. Сейчас у Смита и своя логистическая компания, и свой самодеятельный «Институт имени Буше и Франклина», но молодому «эконофизику», как Смит себя величает, хватило сил и желания нарисовать

занимательные картинки и целые мультики, показывающие, как кризис распространялся по финансовой системе США в период с 1 августа 2007 года по 10 октября 2008 года.

Результаты этой математической работы Смит отправил на рецензию почему-то в «Журнал корейского физического общества», а заодно разместил на сайте электронных препринтов Корнельского университета, где с ними может ознакомиться любой желающий. Мультфильм, на котором видно, как зараза расползалась от компании к компании и от отрасли к отрасли, можно увидеть по этой ссылке (AVI-файл, 18 МБ и не самый скорый хостинг), а его отдельные кадры составляют фотогалерею, сопровождающую данную заметку.

Что же это за странная сеть, по узлам изначально спокойного зелёного цвета, словно яд по жилам коварно отравленного героя, 15 месяцев разливались настораживающая жёлтая и тревожная красная краски финансового коллапса?

Каждый узел этого раскидистого образования – компания, акции которой торгуются на американских биржах и входят в списки, по которым рассчитываются индексы S&P500 и NASDAQ-100. Цвета, меняющиеся каждый торговый день, кодируют котировки каждой компании на бирже относительно исходных позиций 1 августа 2007 года. Зелёный соответствует счастливым компаниям, потерявшим на заданный день не более 10% относительно исходного уровня, жёлтый – 10–25%, а красный отмечает компании, опустившиеся в цене с 1 августа 2007 года более чем на четверть.

Конечно, использовать цвет, чтобы показать состояние рынка, – не бог весть какая инновация, а своё исследование Реджинальд Смит затеял не ради того, чтобы заменить графики биржевых индексов облаками разноцветных точек. В мультфильме мы видим расползание кризиса от отрасли к отрасли, и это уже куда интереснее.

Изюминка этого представления данных – структура разноцветной сети из соединённых друг с другом пятен, в которой Смит попытался представить структуру и взаимосвязи самой американской экономики.

Дерево финансового рынка

Чтобы построить дерево, изображающее полтысячи главных компаний американской экономики, Смит сначала посчитал коэффициенты корреляции r_ij между рядами данных, представляющими котировки их акций. Коэффициент корреляции изменяется от 1 для пары котировок, которые меняются в унисон, до –1 для пары, одна из которых пропорционально подрастает всякий раз, как падает вторая.

При этом не важно, на какую величину меняются котировки – даже если одна ходит всего на процент, а вторая – на десятки процентов, корреляция считается идеальной (+1), если колебания чётко пропорциональны (относительно характерного разброса, дисперсии колебаний каждой котировки). Так из примерно 500 15-месячных рядов данных (для каждой котировки) получились порядка 100 тысяч коэффициентов корреляции.

Коэффициенты корреляции Смит перевёл в веса («длины» рёбер) по формуле d_ij=sqrt[2(1–r_ij)], где sqrt – квадратный корень. Такие расстояния меняются от 0 между идеально скоррелированными акциями (r=1) через 1 для некоррелированных (r=0) и до 2 для идеально антикоррелированных акций (r=–1).

После этого оставалось лишь построить так называемый минимальный остов – дерево, соединяющее все вершины графа и обладающее минимальной суммарной длиной рёбер, и изобразить его на плоскости. Более подробно о графах и остовах можно прочитать в другом врезе в эту заметку.

Разумеется, проследить всё многообразие реальной экономической зависимости компаний этого списка друг от друга в наши дни не в состоянии ни компьютер, ни человек, будь он хоть трижды выпускником Слоановской школы. Вместо этого приходится полагаться на косвенные данные – признаком «близости» компаний друг к другу Смит принял схожесть их поведения на рынке: чем сильнее коррелируют между собой колебания цен на акции, тем теснее связаны друг с другом должны быть предприятия и тем ближе располагаться в нарисованной сети.

Такие сети, состоящие из узлов, попарно соединённых рёбрами, математики называют графами, а в качестве наглядной меры близости узлов вполне можно было бы принять длины рёбер. Правда, полное количество парных расстояний в сети из 500 с лишним компаний составит более 100 тысяч; отобразить что-нибудь подобное ни на каком графике не получится. Раскидистая структура, показанная в мультфильме, – это так называемое минимальное остовное дерево, или минимальный остов, построенный так, чтобы соединить все-все точки графа без замкнутых контуров, и притом так, чтобы суммарная длина всех ветвей, сучков и участков ствола этого дерева была минимальной. Корреляции здесь рассчитаны по данным сразу за все 15 месяцев, так что структура этого дерева фиксирована раз и навсегда и не меняется ото дня ко дню.

Граф

в математике – это два множества, элементы первого из которых называются узлами, или вершинами графа, а второе состоит из различных пар узлов, такие пары называются дугами, или рёбрами.

Граф легко представить в виде точек на плоскости (узлов), которые попарно соединяют отрезки (рёбра). Обычно такая аналогия не обманывает, а терминология теории графов (смежные рёбра, соседние узлы и так далее) получает наглядное пояснение.

Графы бывают неориентированными, когда пары узлов во множестве рёбер – не упорядочены, и ориентированными, когда один из узлов пары считается началом, а другой концом. В этом случае и представлять рёбра на рисунке нужно направленными отрезками – иначе говоря, векторами.

Последовательность смежных рёбер, которая рано или поздно приводит к той же вершине, называется циклом, а (неориентированный) граф, в котором циклов нет – деревом. Для любого набора узлов можно построить хотя бы одно дерево, а в большинстве случаев – гораздо больше, чем одно. Не удивительно, что множество деревьев называется лесом. Единое дерево, соединяющее все вершины графа, называется остовом.

Каждому ребру в соответствие можно поставить число, которое принято называть весом. Если это число действительное, его вполне можно интерпретировать, как «длину» ребра. Правда, гарантировано изобразить граф из N вершин (число N называют порядком графа) с сохранением длин всех M рёбер (число M – размер) можно лишь в пространстве с числом измерением не меньшим, чем K=N/M; K может составлять, к примеру, и (N-1)/2. Для графа с действительными весами можно ввести и понятие минимального остова – остовного дерева, сумма длин всех рёбер которого минимальна.

Задача нахождения минимального остова не обязательно имеет одно решение, однако существуют быстрые и надёжные алгоритмы для нахождения хотя бы одного такого решения.

Хотя ни откуда напрямую не следует, что построенная таким образам структура должна чем-то напоминать реальную экономическую сеть, трюк Смита сработал. На изображениях высокого разрешения, где видны трёхбуквенные обозначения акций, видно, что «сердце» этого графа (центральный «хаб», показанный на рисунке слева) составляют в основном финансовые и страховые фирмы, банки, а также конторы, обслуживающие ипотечные кредиты. Чуть дальше от этих компаний первого круга расположены предприятия транспортного и строительного сектора, машиностроение и так далее – и между ними всеми есть связи, которые сами выдали себя в корреляции колебаний цен их акций. По словам автора работы, при желании можно даже видеть, как особо зависимые друг от друга конкретные компании оказываются друг рядом с другом, выбиваясь по такому случаю даже из числа своих ближайших товарищей по отрасли.

После того как минимальное остовное дерево «выросло» (а его построение – нетривиальная задача, решение которой требует изрядного количества вычислительных ресурсов), можно откинуться в кресле и спокойно наблюдать, как кризис двигался от компании к компании и от одной отрасли экономики к другой. Собственно,

основные этапы развития кризиса на графике очень хорошо видны по резким изменениям количества красных точек и пульсациям красного пятна, если глядеть на более общую картину.

Начинается всё, понятно, с ипотечных компаний и их проблем во Флориде и Калифорнии, однако очень скоро к ним присоединяются всё больше точек центрального кластера – это по большей части как раз недвижимость, финансовый и страховой сектор. К декабрю 2007 года кризис уже очевиден, а весь прошлогодний январь рынок откровенно лихорадит. В феврале, казалось, наступило небольшое улучшение, но в середине марта красный круг впервые резко увеличивается – это падает Bear Sterns, потянув за собой половину рынка. Какие-то пульсации продолжаются до лета, пока к августу хуже не становится уже почти всем участникам торгов, после чего в сентябре судьбу Bear Sterns разделяет Lehman Brothers – с соответствующим сигналом. Завершается мультфильм на не самой радостной ноте – 10 октября прошлого года произошло одно из самых глубоких на тот момент падений индекса Dow Jones. Правда, позднее эффект слегка померк, поскольку подобные провалы с падением котировок и увеличением волатильности (нестабильности) рынка стали случаться всё чаще.

Не то чтобы всех этих выводов нельзя было сделать без этого графика, но так зримо кризис не представлялся. Жаль только, что Смит ограничился тремя градациями цвета, а не каким-то непрерывным изменением оттенков и яркости, иначе наблюдать за тлеющей, подобно углям костра, американской экономикой американоненавистникам – даром что то же самое происходит и на их родных рынках – было бы ещё приятнее.

Расползание заразы выглядит весьма убедительно – и очень похоже на движение, скажем, гриппа в социальных сетях или вируса в компьютерных. Вместе с тем, сам автор многократно предупреждает, что

эти аналогии обманчивы: в реальности между распространением эпидемий и расползанием падения котировок по рынку нет ничего общего.

Ни по механизму распространения, ни по структуре самой сети. Более того, в графике Смита неминуемо появляется иллюзия причинно-следственного каскада, как бы ни происходило на самом деле развитие финансового кризиса.

Построение минимального остова, на основе которого делаются все выводы, проводилось так, что иначе как распространение заразы из очага к периферии финансовый кризис выглядеть и не мог. Дело в том, что сама близость точек определяется схожестью их поведения – иначе говоря, падения, и по самому построению близкими на графике оказываются те акции, что падают вместе. А поскольку на рынке падают практически все акции, то тем, что расположены на графике чуть дальше от главного сплетения, не остаётся ничего другого, как упасть чуть позже.

Впрочем, всё это не лишает творение Реджинальда Смита его иллюстративной функции. И хотя анализ причин и последствий падения рынков, по оценкам самого автора, займёт не один год, а то и не одно десятилетие, равно как и сотни и тысячи умов, график Смита вполне может стать для такого анализа неплохим подспорьем – или хотя бы его иллюстрацией. И пусть она вводит в заблуждение, но делает это очень убедительно.