Леонид Кучук родился 27 августа 1959 г. в Минске. Футбольную карьеру начал в минском «Торпедо» и «Динамо». С 1982 по 1988 гг. играл за гомельский «Гомсельмаш». С 1986 г. стал играть на позиции защитника, до этого был нападающим. С 1989 по 1991 гг. играл в клубе КИМ (Витебск). С 1992 г. - в чемпионате Белоруссии по футболу. С 1992 по 1994 гг. выступал за «Молодечно». С 1995 по 1997 гг. - игрок клуба «Атака-Аура». В 1998 г. Леонид Кучук завершил карьеру в клубе «Динамо-93» и стал тренером.
В 1998 г. пришел в «Молодечно», в 2003 г. стал старшим тренером минского «Локомотива». С 2004 по 2010 гг. возглавлял молдавский «Шериф». В мае 2010 г. назначен главным тренером белгородского «Салюта». С 2011 по 2013 гг. - главный тренер киевского «Арсенала».
Женат. Сын - Алексей Кучук - профессиональный футболист.
